Построение аксонометрического чертежа цилиндра вращения. Пересечение цилиндрических поверхностей Создание ассоциативного чертежа пересекающихся цилиндров

Для построения линии пересечения цилиндрической поверхности плоскостью в общем случае находят точки пересечения образующих с секущей плоскостью, как это сказано (см. 9.1) в отношении любых линейчатых поверхностей. При необходимости не исключается применение и вспомогательных секущих плоскостей, пересекающих поверхность и плоскость.

Заметим, что любую цилиндрическую поверхность плоскость, расположенная параллельно образующей этой поверхности, пересекает по прямым линиям (образующим).

Вид линии, образованной при пересечении плоскостью прямого кругового цилиндра, определяется положением плоскости относительно оси. Эта линия - окружность, если плоскость перпендикулярна оси; две прямые (проекции 1"2" и 3"4" на рис. 9.1) или одна прямая (касательная), если плоскость параллельна оси (след P w); эллипс (1-2-3-4 на рис. 9.2), если плоскость расположена под углом к оси.

Образование выреза на цилиндре двумя плоскостями Р (Рv) || W и Т (T w) || V показано на рисунке 9.3.

Цилиндр с наклонным срезом. Рассмотрим построение чертежа цилиндра со срезом проецирующей плоскостью под некоторым углом к его оси (не равным 0° и 90°), натуральной величины среза и развертки цилиндра (рис. 9.4, 9.5).

Ось цилиндра и вся цилиндрическая поверхность перпендикулярны плоскости Н. Следовательно, все точки цилиндрической поверхности, в том числе и линия пересечения ее с плоскостью Р (Pv) проецируются на плоскость Н в окружность. На ней отмечают горизонтальные проекции точек 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 и 12 эллипса, расположив их равномерно по окружности. В проекционной связи строят фронтальные проекции 1", 2", 3", 4", 5", 6", 7", 8", 9", 10", 11", 12" отмеченных точек на фронтальном следе P v , секущей плоскости. Профильные проекции тех же точек строят по их горизонтальной и фронтальной проекциям на линиях связи.

Профильная проекция линии пересечения цилиндра с секущей плоскостью - эллипс, большая ось 10 "4" которого в данном случае равна диаметру цилиндра, а малая 1"7" - профильная проекция отрезка 1-7.

Если плоскость Р расположить (см. рис. 9.4) под углом 45° к оси, то профильная проекция эллипса фигуры сечения будет окружность.

Если острый угол между осью цилиндра и секущей плоскостью будет меньше 45°, то малая ось эллипса на профильной проекции (см. рис. 9.4) станет равной диаметру цилиндра.

Натуральный вид фигуры сечения цилиндра плоскостью Р построен способом перемены плоскостей проекций на плоскости S, перпендикулярной плоскости V Большая ось эллипса - отрезок 1 5 7 5 = 1"7 ", малая - отрезок 4 5 10 5 = d.

Построение развертки (рис. 9.5). Полная развертка состоит из четырех частей: развертки боковой поверхности, ограниченной пятью отрезками прямой линии и кривой А 0 1 0 В 0 - синусоидой; натурального вида фигуры сечения; круга основания цилиндра; сегмента, полученного на верхнем основании.

Полная развертка боковой поверхности цилиндра - прямоугольник с высотой, равной высоте цилиндра, а длиной L = nd, где d - диаметр цилиндра. Для построения на развертке точек линии среза развертку основания цилиндра делят на такое же число частей, как и при построении проекций линий среза. Проводят через точки деления образующие и, пользуясь фронтальной проекцией, отмечают на них высоту до точек эллипса среза - точки 1 0 , 2 0 и 12 0 , 3 0 и 11 0 , 4 0 и 10 0, 5 0 и 9 0 , 6 0 и 8 0 , 7 0 . Соединяют построенные точки плавной кривой - синусоидой. Натуральный вид фигуры среза цилиндра плоскостью выполнен ранее (ls2s3s...12s ), и его по координатам строят на развертке.

Построим на чертеже цилиндра проекции точки М, указанной на развертке точкой М 0 . Для этого отметим хорду l2 между образующей, на которой расположена точка М 0, и образующей точки 4. По хорде l2 строим горизонтальную проекцию т (рис. 9.4) и по известной высоте ее расположения находим ее фронтальную проекцию т".

Цель задания: Изучить методы построения линии пересечения двух цилиндров.

Порядок выполнения: Начертить рамку и основную надпись. Вычертить три проекции пересекающихся цилиндров по заданным размерам. Найти проекции очевидных точек линии пересечения цилиндрических поверхностей. Определить количество промежуточных точек и построить их проекции. Наметить линию пересечения на всех трех проекциях и определить ее видимость. Нанести обозначения точек. Обвести чертеж, заполнить основную надпись.

Значения параметров, приведенных на рисунке 10, выбирают по таблице 4 согласно варианту. Образец показан на рисунке 12.

Методические указания по выполнению листа 4

Общая линия пересекающихся поверхностей называется линией пересечения. На чертежах линии пересечения поверхностей изображаются сплошной основной линией .

Метод построения линий пересечения поверхностей тел заключается в проведении вспомогательных секущих плоскостей и нахождении отдельных точек линий пересечения данных поверхностей в этих плоскостях. В качестве вспомогательных секущих плоскостей выбирают такие плоскости, которые пересекают обе заданные поверхности по простым линиям – прямым или окружностям, причем окружности должны располагаться в плоскостях, параллельным плоскостям проекций.

Рассмотрим построение линии пересечения поверхностей двух прямых круговых цилиндров, оси которых перпендикулярны к плоскостям проекций.

Перед тем, как строить линию пересечения поверхностей на чертеже, необходимо представить себе эту линию в пространстве (см. рисунок 11).

В начале построения находят проекции очевидных точек 1, 4 (см. рисунок 10). Горизонтальная проекция искомой линии пересечения поверхностей совпадает с окружностью – горизонтальной проекцией одного из цилиндров. Профильная проекция линии пересечения также совпадает с окружностью – профильной проекцией второго цилиндра. Таким образом, фронтальную проекцию искомой линии пересечения легко найти по общему правилу построения кривой линии по точкам, когда две проекции точек известны. Например, по горизонтальной проекции 2 1 точки 2 находят профильную проекцию 2 3 . По двум проекциям 2 1 и 2 3 определяют фронтальную проекцию 2 2 точки 2, принадлежащей линии пересечения цилиндров.

Если пересекающиеся цилиндрические поверхности имеют оси, расположенные под углом, отличным от прямого угла, то линию их пересечения строят при помощи вспомогательных секущих плоскостей или другими способами (например, способом сфер).

Таблица 4 – Варианты исходных данных к листу 4.

Рисунок 10 – Взаимное пересечение поверхностей цилиндров.

Графическая работа 5 «Технический рисунок модели»

Цель задания: Научиться изображать от руки технические детали простой формы. Изучить правила выполнения технических рисунков.

Порядок выполнения: Начертить рамку и основную надпись. Проанализировать форму детали по ее аксонометрическому изображению. Выполнить технический рисунок. Рисунок выполняется от руки, на глаз, сначала тонкими линиями, затем для выявления объема делается штриховка и обводка. Заполнить основную надпись. Вариант выбирают по рисунку 13 а, б. Образец показан на рисунке 14.

При выполнении машиностроительных чертежей наиболее часто встречается случай пересечения двух цилиндрических поверхностей, оси которых расположены под углом 90°. Разберем пример построения линии пересечения поверхностей двух прямых круговых цилиндров, оси которых перпендикулярны к плоскостям проекций (рисунок 201). В начале построения, как известно, находят проекции очевидных точек /, 3 и 5. Построение проекции промежуточных точек показано на рисунке 201. Если в данном примере применить общий способ построения линий пересечения с помощью вспомогательных взаимно параллельных плоскостей, пересекающих обе цилиндрические поверхности по образующим, то на пересечении этих образующих будут найдены искомые промежуточные точки линии пересечения (например, точки 2, 4 на рисунке 201). Однако в данном случае выполнять такое построение нет необходимости по следующим соображениям. Горизонтальная проекция искомой линии пересечения поверхностей совпадает с окружностью - горизонтальной проекцией большого цилиндра. Профильная проекция линии пересечения также совпадает с окружностью - профильной проекцией малого цилиндра. Таким образом, фронтальную проекцию искомой линии пересечения легко найти по общему правилу построения кривой линии по точкам, когда две проекции точек известны. Например, по горизонтальной проекции точки 2" находят профильную проекцию 2"". По двум проекциям 2" и 2"" определяют фронтальную проекцию 2" точки 2, принадлежащей линии пересечения цилиндров. Построение изометрической проекции пересекающихся цилиндров (рисунок 202) начинают с построения изометрической проекции вертикального цилиндра. Далее через точку О, параллельно оси л- проводят ось горизонтального цилиндра. Положение точки 0} определяется величиной //, взятой с комплексного чертежа (рисунок 201). Отрезок, равный Л, откладывают от точки О вверх по оси z. Откладывая от точки О, по оси горизонтального цилиндра отрезок /, получим точку 02 - центр основания горизонтального цилиндра. Изометрическая проекция линии пересечения поверхностей строится по точкам при помоши трех координат. Однако в данном примере искомые точки можно построить несколько иначе. Так, например, точку 2 строят следующим образом. От центра 02 вверх, параллельно оси z> откладывают отрезок т. взятый с комплексного чертежа. Через конец этого отрезка проводят прямую, параллельную оси >\ до пересечения с основанием горизонтального цилиндра в точке 2V Затем из точки 2, проводят прямую, параллельную оси х, и на ней откладывают отрезок, равный расстоянию от основания горизонтального цилиндра до линии пересечения, взятый с фронтальной или горизонтальной проекции комплексного чертежа. Конечные точки этих отрезков будут принадлежать линии пересечения. Через полученные точки проводят по лекалу кривую, выделяя ее видимые и невидимые части. Если диаметры пересекающихся цилиндрических поверхностей одинаковы, то фронтальная проекция линии пересечения представляет собой две пересекающиеся прямые. Если пересекающиеся цилиндрические поверхности имеют оси, расположенные под углом, отличным от прямого угла, то линию их пересечения строят при помощи вспомогательных секущих плоскостей или другими способами (например, способом сфер).

На чертежах деталей машин часто встречаются линии пересечения поверхностей, или, иначе, линии перехода . Поэтому необходимо изучить приемы построения этих линий.

Взаимное пересечение многогранников. На рис. 177, а приведены три изображения двух пересекающихся призм - четырехугольной и треугольной. Построение фронтальной проекции на рисунке не закончено; проекция линии пересечения на ней не показана. Требуется построить проекции линии пересечения на всех изображениях чертежа.

Рассматривая горизонтальную и профильную проекции, можно установить, что боковые грани вертикально расположенной призмы перпендикулярны горизонтальной плоскости проекций; проекция линии пересечения на эту плоскость совпадает с проекциями боковых граней, т. е. с отрезками прямых линий. Профильная проекция линии пересечения также совпадает с профильной проекцией треугольной призмы. Никаких дополнительных линий на этих проекциях не будет (рис. 177, б). Следовательно, решение задачи сводится к построению фронтальной проекции линии пересечения. Для этого нужно найти точку пересечения ребер одной призмы с гранями другой.

При решении задачи сначала определяют ребра каждой из призм, которые не пересекают грани другой (эти ребра на рис. 177, б не помечены цифрами). Затем, рассматривая профильную и горизонтальную проекции, видим, что ребра 1 - 2 и 3-4 пересекают наклонные грани треугольной призмы. Места пересечения-точки встречи ребер 1-2 и 3-4 с контуром профильной проекции треугольной призмы, т. е. а", b", с", d" видны на чертеже. Проекции невидимых точек заключены в скобки.

Горизонтальные проекции а, b, с, d точек A, В, С, D расположены на горизонтальных проекциях ребер 1-2 и 3-4. Проекции ребер изображаются в виде точек. Фронтальные проекции - точки а" b", с", а" определяют при помощи линий связи. Далее устанавливают, что ребра 5-6 и 7-8 треугольной призмы пересекают грани четырехугольной. Горизонтальные проекции точек пересечения е, f, g, h видны на чертеже. Фронтальные проекции точек Е, F, G, Н находят, проводя линии связи к проекциям соответствующих ребер. Чтобы получить линию пересечения, нужно соединить полученные точки прямыми линиями. Соединяют те точки, которые находятся на одних и тех же гранях каждой призмы. Затем нужно последовательно соединить точки а", b", g", h", d", с",f", е". Отрезки e"f" и g"h" - линии пересечения на фронтальной проекции - невидимы, так как закрыты наклонными гранями треугольной призмы, поэтому их обводят штриховой линией.

Наглядное изображение пересекающихся призм дано на рис. 177, в.

На рис. 178 показано построение линии пересечения четырехугольной усеченной пирамиды и четырехугольной призмы. Построение выполнено аналогично приведенному на рис. 177. На фронтальной проекции линия пересечения совпадает с проекцией боковых граней призмы, так как они перпендикулярны фронтальной плоскости проекции (см. рис. 178). Верхнее и нижнее ребра призмы пересекаются с передним и задним ребрами пирамиды в точках 1, 2, 3, 4, проекции которых 1", 2", 3", 4" находятся в точках пересечения соответствующих ребер. Имея фронтальные и профильные проекции точек 1, 2, 3, 4, находят их горизонтальные проекции при помощи линий связи, как показано стрелками на чертеже.

Точки пересечения других двух ребер призмы с гранями пирамиды без дополнительного построения получить нельзя. Чтобы определить эти точки, призму и пирамиду пересекают горизонтальной секущей плоскостью Р. При пересечении плоскости Р с пирамидой образуется ромб, стороны которого будут параллельны сторонам оснований пирамиды. Ромб легко построить, спроецировав точку а" на горизонтальную плоскость проекций и проведя прямые, параллельные сторонам основания. При пересечении плоскости Р с призмой образуется прямоугольник, равный горизонтальной проекции призмы. Точки 5, 6, 7, 8 пересечения контуров ромба и прямоугольника будут искомыми точками линий пересечения обоих тел.

Профильные проекции 5", 6"", 7", 8" получены при помощи линий связи. В скобках проставлены проекции невидимых точек. Соединяя прямыми проекции точек, расположенных на одних и тех же гранях пирамиды и призмы, т. е. точки 1, 6, 2, 5, точки 3, 8, 4, 7, точки 1", 5", 2" и точки 3", 7", 4", получают недостающие проекции линии пересечения.

Взаимное пересечение тел вращения.

На рис. 179 показано построение линии пересечения двух цилиндров разных диаметров; оси цилиндров взаимно перпендикулярны и пересекаются.

На рис. 179, а изображены деталь, предназначенная для соединения труб,- тройник, и ее упрощенная модель - два пересекающихся цилиндра. Пересекаясь, цилиндрические поверхности образуют пространственную кривую линию. Горизонтальная проекция линии пересечения совпадает с горизонтальной проекцией вертикально расположенного цилиндра, т. е. с окружностью (рис. 179, б). Профильная проекция линии пересечения совпадает с окружностью, являющейся профильной проекцией горизонтально расположенного цилиндра. Отметив на горизонтальной проекции характерные точки 1, 2, 3, находят их профильные проекции 1", 2", 3", которые расположены на дуге окружности. По горизонтальной и профильной проекциям точек 1, 2, 3 находят их фронтальные проекции 1", 2", 3". Таким образом, находят проекции точек, определяющих линию перехода.

В ряде случаев такого количества точек недостаточно, и чтобы получить дополнительные точки, применяют способ вспомогательных секущих плоскостей . Этот способ заключается в том, что поверхность каждого тела пересекают вспомогательной плоскостью, образующей фигуры сечений, контуры которых пересекаются. Точки, полученные при пересечении контуров сечений, являются точками линии пересечения. В данном случае оба цилиндра пересекают вспомогательной горизонтальной секущей плоскостью (рис. 179, в). При пересечении вертикально расположенного цилиндра образуется окружность, а горизонтально расположенного цилиндра - прямоугольник. Точки пересечения 4 и 5 окружности и прямоугольника принадлежат обоим цилиндрам и, следовательно, определяют линию пересечения обоих тел (см. рис. 179, а). Отметив профильные, а затем горизонтальные проекции точек 4 и 5, при помощи линий связи находят фронтальные проекции (см. рис. 179, в). Полученные точки соединяют плавной кривой.

При необходимости увеличить число точек, определяющих линию пересечения, проводят еще несколько параллельных вспомогательных секущих плоскостей.

Если оба цилиндра имеют одинаковые диаметры , то одна из проекций линий пересечения представляет собой пересекающиеся прямые (рис. 179, г и д), а линии пересечения - эллипсы.

Линия пересечения шара и прямого кругового цилиндра, ось которого проходит через центр шара, показана на рис. 180. Как видно из чертежа, на одной проекции линия пересечения изображается окружностью, а на другой проецируется в прямую линию.

Проецирование тел с отверстиями. В технике встречаются детали с отверстиями цилиндрической, прямоугольной или какой-либо другой формы (рис. 181). При пересечении отверстий с поверхностями деталей образуются линии пересечения, форму которых в ряде случаев необходимо воспроизвести на чертеже. Задача эта решается в общем виде теми же способами, что и построение линий пересечения геометрических тел.

На рис. 182, а показан цилиндр с боковым отверстием цилиндрической формы. Оси цилиндра и отверстия пересекаются под прямым углом. Линия пересечения есть пространственная кривая. Построение линии пересечения было показано на рис. 179, а получение характерных точек данной кривой дано на рис. 182, а.

Линия пересечения цилиндра с отверстием прямоугольной формы при пересечении осей под прямым углом показана на рис. 182, б. Для построения линии пересечения на горизонтальной проекции выбраны характерные точки 1, 2, 3, 4, 5, 6. Профильные проекции 1", 2", 3", 4"", 5"", 6" расположены на окружности, являющейся проекцией цилиндра. Фронтальные проекции 1, 2", 3", 4", 5", 6" находят по полученным горизонтальным и профильным проекциям. Соединив точки 1", 2", 3", 4", 5", 6" прямыми, получают ломаную линию пересечения в виде прямоугольной впадины.

На рис. 182, в показана линия пересечения цилиндра с отверстием, образованным четырехугольной призмой, и двумя полуцилиндрами. Такую форму имеет шпоночная канавка. Линия пересечения представляет собой прямолинейную впадину (см. рис. 182, б) с криволинейными краями (см. рис. 182, а).

Ответьте на вопросы

1. В чем заключается способ вспомогательных секущих плоскостей? Для чего его применяют?

2. Какую форму имеет линия пересечения двух цилиндров разных диаметров и двух цилиндров одинаковых диаметров, если оси цилиндров пересекаются?

Задания к § 25 и главе IV

Упражнение 83

По двум данным проекциям детали начертите третью (рис. 183). Постройте недостающие проекции точек А и В, заданных проекциями а и b" расположенных на видимых гранях. Выполните аксонометрическую проекцию, проставьте на ней размеры и нанесите точки А и Б.

Ответьте на вопросы

1. Какие проекции даны на чертеже?

2. Чему равны габаритные размеры детали?

3. Каковы размеры прямоугольного паза на детали?

4. Какова шероховатость поверхности, изображенной на главном виде штриховой линией?

5. Нужно ли обрабатывать основание детали и боковые стороны?

6. Нужно ли обрабатывать верхнюю наклонную плоскость детали?

Упражнение 84

По двум проекциям детали начертите третью (рис. 184). Постройте недостающие проекции точки, расположенной на видимой поверхности детали и заданной фронтальной проекцией d.

Ответьте на вопросы к рис. 184

1. Какова исходная форма детали?

2. Какие проекции даны на чертеже?

3. Что обозначают штриховые линии на фронтальной проекции?

4. Что обозначают две горизонтальные штриховые линии на профильной проекции?

5. Чем вызвано появление на фронтальной проекции двух вогнутых линий?

6. Можно ли без дополнительных построений обозначить на профильной проекции точку В, заданную фронтальной проекцией b"? Где находится эта точка на профильной проекции?

7. Каковы габаритные размеры детали?

8. Какие размеры определяет положение отверстия диаметром 40 мм?

9. Допустима ли обточка детали под размер 119,98 мм?

10. Допустима ли обточка детали под размер 119,8 мм? Если нет, то можно ли такой брак исправить?

11. Допустима ли обработка паза 60 мм под размер 60 -0,1 ? Если нет, то можно ли такой брак исправить?

12. Нужно ли наносить размер между линиями, обозначенными цифрой 1 в зеленом четырехугольнике? В результате чего образовались эти линии?

13. Какова должна быть шероховатость большей части поверхности детали?

14. Какова шероховатость двух параллельных плоскостей в каждом из пазов?

Упражнение 85

По наглядным изображениям деталей (рис. 185, а-в) выполните чертежи в системе прямоугольных проекций. Масштаб чертежей возьмите 2: 1. Размеры определите обмериванием наглядных изображений.

Ответы к упражнениям главы IV

К упражнению 50

К упражнению 54

К упражнению 56

На примеры 1 и 2 ответы следующие (на примеры 3, 4, 5 ответы не приводятся):

В примерах 1 и 2 виды должны быть расположены так:

АБ АВ В Б

К упражнению 57

Пример решения задачи дан на рис. 277.

К упражнению 58

Пример решения задачи дан на рис. 278.

К упражнению 59

Чтобы выбрать правильное положение для главного вида, надо смотреть на детали по направлению, указанному стрелками со следующими буквами.

4. Пересечение многогранников

1 ВЗАИМНОЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ КРИВЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ

1.1 Общие положения

Кривые поверхности пересекаются в общем случае по пространственной кривой линии, проекции которой строятся обычно по точкам. Для нахождения этих точек заданные поверхности пересекают третьей вспомогательной секущей поверхностью, определяют линии пересечения вспомогательной поверхности с каждой из заданных, затем находят общие точки построенных линий пересечения. Повторяя такие построения многократно, получают необходимое количество точек для определения линии пересечения.

Общий алгоритм построения линии пересечения поверхностей:

1) Выбирают вид вспомогательных поверхностей. При выборе вспомогательной секущей поверхности следует выбирать поверхности, которые пересекали бы заданные поверхности по наиболее п ростым для построения линиям - прямым или окружностям. В качестве вспомогательных поверхностей - посредников наиболее часто используют плоскости и сферы.

2 ) Строят линии пересечения вспомогательных поверхностей с заданными поверхностями.

3) Находят точки пересечения полученных линий и соединяют их между собой.

4) Определяют видимость линии пересечения относительно рассматриваемых поверхностей и плоскостей проекций.

Построения начинают с определения характерных (опорных) точек (точки, расположенные на очерковых образующих поверхностей, которые обычно делят линию пересечения на видимую и невидимую части (границы видимости), высшая и низшая точки линии пересечения, крайние точки (правая и левая).

При построениях применяют способы преобразования чертежа, если это упрощает и утоняет построения.

1.2 Построение линии пересечения поверхностей с помощью вспомогательных секущих плоскостей

Задача. Построить линию пересечения конуса и цилиндра вращения (рис. 186).

В первую очередь определяем характерные точки линии пересечения:

Проекции высшей и низшей точек А2 и E2 определены при помощи вспомогательной фронтальной плоскости Q, которая пересекает поверхность цилиндра и конуса по крайним образующим. Горизонтальные проекции точек находятся на горизонтальном следе Qπ2 вспомогательной плоскости.

Точки С и С найдены при помощи горизонтальной плоскости S , проведенной через ось цилиндра. Плоскость S пересекает поверхность цилиндра по крайним образующим (передней и задней), а поверхность конуса - по окружности. Пересечения горизонтальных проекций крайних образующих и окружности дают точки С 1 и С 1 - горизонтальные проекции точек С и С . Фронтальные проекции этих точек лежат на фронтальном следе плоскости S .

Промежуточные точки линии пересечения найдены при помощи горизонтальных плоскостей Р и R .

Рисунок 186

Рисунок 187

В рассмотренном примере точки линии пересечения найдены при помощи вспомогательных плоскостей частного положения. Иногда же введение плоскостей частного положения не дает желаемого эффекта и целесообразнее воспользоваться плоскостями общего положения.

1.3 Построение линии пересечения поверхностей с помощью вспомогательных секущих сфер с постоянным центром

Известно, что если ось поверхности вращения проходит через

центр сферы и сфера пересекает эту поверхность, то линия пересечения сферы и поверхности вращения - окружность, плоскость которой перпендикулярна оси поверхности вращения. При этом если ось поверхности вращения параллельна плоскости проекций, то линия пересечения на эту плоскость проецируется в отрезок прямой линии.

На рис. 187 показана фронтальная проекция пересечения сферы радиуса R и поверхностей вращения - конуса, тора, цилиндра, сферы, оси которых проходят через центр сферы

радиуса R и параллельны плоскости π 2 . Окружности, по которым пересекаются указанные поверхности вращения с поверхностью сферы, проецируются на плоскость в виде отрезков прямых. Это свойство используют для построения линии взаимного пересечения двух поверхностей вращения с помощью вспомогательных сфер.

Способ секущих сфер с постоянным центром применяют при следующих условиях:

1) обе поверхности являются поверхностями вращения;

2) обе поверхности вращения пересекаются; точку пересечения принимают за центр вспомогательных (концентрических) сфер;

3) плоскость, образованная осями поверхностей (плоскость симметрии), должна быть параллельна плоскости проекций. В том случае, если это условие не соблюдается, прибегают к способам преобразования чертежа.

Сфера радиуса (R min )

Рисунок 188

Пример. Построить линию пересечения конуса вращения и цилиндра вращения (рис. 188).

Оси заданных поверхностей вращения пересекаются (точка О ) и параллельны плоскости проекций π 2 , следовательно, необходимые для применения способа сфер условия имеются.

Определяем фронтальные проекции опорных точки 1 2 и 2 2 как точки пересечения фронтальных проекций очерков цилиндра и конуса. Горизонтальные проекции этих точек определяем при помощи линий проекционной связи.

Радиус сферы максимального радиуса (Rmax )

равен расстоянию от фронтальной проекции центра сфер O 2 до наиболее удаленной точки проекции точки пересечения очерков (точка 1 2 ).

минимального

Это сфера, которая может быть вписана в одно геометрическое тело и пересекающая другое.

Сфера минимального радиуса только касается поверхности конуса и, следовательно, пересекает ее но окружности, фронтальная проекция которой - прямая A 2 B 2 . Поверхность цилиндра

сфера R min пересекает также по окружности, фронтальная проекция которой - прямая C 2 D 2 . Пересечение этих прямых - точка 4 2 есть фронтальная проекция одной из точек искомой линии пересечения.

Аналогичным образом при помощи сферы промежуточного радиуса R i построена фронтальная проекция 3 2 еще одной точки, принадлежащей линии пересечения. Горизонтальные проекции найденных точек могут быть построены как проекции точек, лежащих на поверхности конуса.

2 ОСОБЫЕ СЛУЧАИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ

1 Соосные поверхности вращения

Соосные поверхности вращения пересекаются по окружности, так линиями пересечения конуса и цилиндра (рис. 189) являются две окружности, которые проецируются на горизонтальную плоскость в натуральную величину, а на плоскость π 2 - в отрезки прямых.

Рисунок 189

2 Пересечение поверхностей, описанных вокруг одной сферы

Как отмечалось ранее, линия пересечения двух кривых поверхностей в общем случае представляет собой пространственную кривую. Однако в некоторых частных случаях эта линия может распадаться на плоские кривые.

Теорема Монжа : две поверхности второго порядка, описанные около третьей поверхности второго порядка (или в нее вписанные), пересекаются между собой по двум кривым второго

Рисунок 188

3 ПЕРЕСЕЧЕНИЕ КРИВОЙ ПОВЕРХНОСТИ С ПОВЕРХНОСТЬЮ МНОГОГРАННИКА

Каждая грань многогранника в общем случае пере секает кривую поверхность по плоской кривой. Эти кривые пересекаются между собой в точках встречи ребер многогранника с поверхностью. Таким образом, задача на построение линии пересечения кривой поверхности с многогранником сводится к нахождению линии пересечения поверхности плоскостью и точек встречи прямой с поверхностью.

Пример. Построение линии пересечения поверхностей полусферы

выполняем методом вспомогательных секущих плоскостей.

Каждая грань призмы пересекает поверхность полусферы по полуокружностям, которые пересекаются между собой в точках встречи ребер призмы с поверхностью полусферы.

В приведенном примере одна из граней призмы расположена параллельно фронтальной плоскости проекций, поэтому окружность, по которой эта грань пересекает поверхность полусферы, спроецируется на фронтальную плоскость проекций без искажения. Фронтальные проекции остальных двух дуг полуокружностей, очевидно, будут представлять собой дуги полуэллипсов. Построение их на эпюре следует начинать с нахождения опорных точек. Для этого через каждое ребро призмы проведены фронтальные плоскости (P и Q ), которые пересекают поверхность полусферы но окружностям.

Точки пересечения фронтальных проекций ребер с соответствующими

полуокружностями являются фронтальными проекциями точек встречи ребер призмы с полусферой (точек 1 , 2 , 3) .

Точки 4 и 5, разделяющие кривые на видимую и невидимую части, получены при помощи фронтальной плоскости S , проведенной через центр полусферы.

Промежуточные точки найдены аналогичным построением (при помощи фронтальных плоскостей R и Т ).

4 ВЗАИМНОЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ МНОГОГРАННИКОВ

Линия пересечения поверхностей двух многогранников представляет собой замкнутую пространственную ломаную линию (или две замкнутые ломаные линий), которая проходит через точки пересечения ребер одного из многогранников с гранями другого и ребер другого с гранями первого.

Построение линии пересечения многогранников можно производить двумя способами, комбинируя или выбирая из них тот, который в зависимости от условий дает более простые построения:

1способ. Определяют точки, в которых ребра одного из многогранников пересекают грани другого и ребра второго пересекают грани первого. Через полученные точки в определенной последовательности проводят ломаную линию, представляющую собой линию пересечения заданных поверхностей. При этом можно со единять прямыми проекции только тех точек, которые лежат на одной и той же грани.

2 способ . Определяют отрезки прямых, по которым грани одного из многогранников пересекают грани другого; эти отрезки являются звеньями получаемой при пересечении многогранников ломаной линии.

SE, в пересечении фронтальных проекций которых с фронтальной проекцией переднего ребра призмы отмечены фронтальные проекции 1 2 , 2 2 точек входа и выхода 1 и 2. Так как грани призмы - горизонтально

Проектирующие плоскости, то построение точек встречи ребер пи - рамиды с гранями призмы (точек 3, 4, 5, 6) никаких затруднений не представляет и понятно из чертежа. Соединив последовательно между собой фронтальные проекции найденных точек, получим фронтальную проекцию линии пересечения. Горизонтальная проекция ее совпадает с горизонтальной проекцией призмы.

При определении видимости точек, принадлежащих линии пересечения, руководствуются следующим правилом: проекция точки, полученная при пересечении двух видимых линий, видима. Точка пересечения двух невидимых или одной видимой и другой невидимой линии невидима.